บ้าน › ชีวิต › คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของวงแหวน แนวคิดเรื่องวงแหวน คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของวงแหวนตามตัวเลขในรูปแบบพีชคณิต

คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของวงแหวน แนวคิดเรื่องวงแหวน คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของวงแหวนตามตัวเลขในรูปแบบพีชคณิต

คำนิยาม 4.1.1. แหวน (เค, +, ) เป็นระบบพีชคณิตที่มีเซตไม่ว่าง เคและการดำเนินการพีชคณิตไบนารีสองรายการซึ่งเราจะเรียกว่า ส่วนที่เพิ่มเข้าไปและ การคูณ. วงแหวนเป็นกลุ่มบวกแบบอาบีเลียน และการคูณและการบวกมีความสัมพันธ์กันตามกฎการกระจายตัว: ( ก + ข)  ค = ก  ค + ข  คและ กับ  (ก + ข) = ค  ก + ค  ขโดยพลการ ก, ข, ค  เค.

ตัวอย่าง 4.1.1. เรามายกตัวอย่างแหวนกันดีกว่า

1. (ซี, +, ), (ถาม, +, ), (ร, +, ), (ค, +, ) – วงแหวนของจำนวนเต็ม ตรรกยะ จำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อน ตามลำดับ โดยมีการดำเนินการตามปกติของการบวกและการคูณ วงแหวนเหล่านี้เรียกว่า ตัวเลข.

2. (ซี/ nซี, +, ) – วงแหวนของคลาสสารตกค้างแบบโมดูโล n  เอ็นด้วยการบวกและการคูณ

3. พวงของ ม n (เค) เมทริกซ์จตุรัสทั้งหมดของลำดับคงที่ n  เอ็นโดยมีค่าสัมประสิทธิ์จากวงแหวน ( เค, +, ) โดยมีการดำเนินการของการบวกและการคูณเมทริกซ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง, เคอาจจะเท่ากัน ซี, ถาม, ร, คหรือ ซี/nซีที่ n  เอ็น.

4. เซตของฟังก์ชันจริงทั้งหมดที่กำหนดในช่วงเวลาคงที่ ( ก; ข) แกนจำนวนจริง โดยมีการดำเนินการตามปกติของการบวกและการคูณฟังก์ชัน

5. เซตของพหุนาม (พหุนาม) เค[x] โดยมีค่าสัมประสิทธิ์จากวงแหวน ( เค, +, ) จากตัวแปรตัวหนึ่ง xด้วยการดำเนินการตามธรรมชาติของการบวกและการคูณพหุนาม โดยเฉพาะวงแหวนพหุนาม ซี[x], ถาม[x], ร[x], ค[x], ซี/nซี[x] ที่ n  เอ็น.

6. วงแหวนของเวกเตอร์ ( วี 3 (ร), +, ) ด้วยการดำเนินการบวกและการคูณเวกเตอร์

7. วงแหวน ((0), +, ) พร้อมการดำเนินการบวกและการคูณ: 0 + 0 = 0, 0  0 = = 0.

คำนิยาม 4.1.2. แยกแยะ มีขอบเขตและไม่มีที่สิ้นสุดแหวน (ตามจำนวนองค์ประกอบของชุด เค) แต่การจำแนกประเภทหลักจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของการคูณ แยกแยะ เชื่อมโยงดังขึ้นเมื่อการดำเนินการคูณเป็นแบบเชื่อมโยง (จุดที่ 1–5, 7 ของตัวอย่างที่ 4.1.1) และ ไม่เกี่ยวข้องแหวน (จุดที่ 6 ของตัวอย่าง 4.1.1: ที่นี่ , ) วงแหวนสมาคมแบ่งออกเป็น แหวนด้วยอันหนึ่ง(มีองค์ประกอบที่เป็นกลางเกี่ยวกับการคูณ) และ โดยไม่มีหน่วย, สับเปลี่ยน(การดำเนินการคูณเป็นแบบสับเปลี่ยน) และ ไม่สับเปลี่ยน.

ทฤษฎีบท4.1.1. อนุญาต ( เค, +, ) เป็นวงแหวนที่เกี่ยวข้องกับหนึ่ง แล้วมากมาย เค* กลับด้านได้ด้วยการคูณองค์ประกอบวงแหวน เค– กลุ่มการคูณ

เรามาตรวจสอบการปฏิบัติตามคำจำกัดความของกลุ่ม 3.2.1 กัน อนุญาต ก, ข  เค*. มาแสดงกันเถอะ ก  ข  เค * .  (ก  ข) –1 = ข –1  ก –1  เค. จริงหรือ,

(ก  ข)  (ข –1  ก –1) = ก  (ข  ข –1)  ก –1 = ก  1  ก –1 = 1,

(ข –1  ก –1)  (ก  ข) = ข –1  (ก –1  ก)  ข = ข –1  1  ข = 1,

ที่ไหน ก –1 , ข –1  เค– องค์ประกอบผกผันถึง กและ ขตามลำดับ

1) การคูณใน เค* ร่วมกันตั้งแต่นั้นมา เค– แหวนสมาคม.

2) 1 –1 = 1: 1  1 = 1  1  เค* , 1 – องค์ประกอบที่เป็นกลางเกี่ยวกับการคูณเข้า เค * .

3) สำหรับ  ก  เค * , ก –1  เค* , เพราะ ( ก –1)  ก= ก  (ก –1) = 1
(ก –1) –1 = ก.

คำนิยาม 4.1.3. พวงของ เค* กลับด้านได้ด้วยการคูณองค์ประกอบของวงแหวน ( เค, +, ) เรียกว่า กลุ่มวงแหวนคูณ.

ตัวอย่าง 4.1.2. เราจะยกตัวอย่างกลุ่มการคูณของวงแหวนต่างๆ

1. ซี * = {1, –1}.

2. ม n (ถาม) * = ก.ล. n (ถาม), ม n (ร) * = ก.ล. n (ร), ม n (ค) * = ก.ล. n (ค).

3. ซี/nซี* - ชุดของคลาสสารตกค้างที่ผันกลับได้ ซี/nซี * = { | (เค, n) = 1, 0  เค < n), ที่ n > 1 | ซี/nซี * | =  (n), ที่ไหน  - ฟังก์ชันออยเลอร์

4. (0) * = (0) เนื่องจากในกรณีนี้ 1 = 0 

คำนิยาม 4.1.4. หากอยู่ในวงแหวนเชื่อมโยง ( เค, +, ) กับกลุ่มยูนิต เค * = เค\(0) โดยที่ 0 เป็นองค์ประกอบที่เป็นกลางเมื่อเทียบกับการบวก ดังนั้นวงแหวนดังกล่าวจึงถูกเรียกว่า ร่างกายหรือ พีชคณิตด้วยแผนก. ร่างกายสับเปลี่ยนเรียกว่า สนาม.

จากคำจำกัดความนี้จะเห็นได้ชัดเจนว่าในร่างกาย เค*   และ 1  เค* หมายถึง 1  0 ดังนั้นส่วนน้อยที่สุดซึ่งเป็นสนามประกอบด้วยสององค์ประกอบ: 0 และ 1

ตัวอย่าง 4.1.3.

1. (ถาม, +, ), (ร, +, ), (ค, +, ) คือช่องตัวเลขของจำนวนตรรกยะ จำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อน ตามลำดับ

2. (ซี/พีซี, +, ) – ฟิลด์จำกัดจาก พีองค์ประกอบถ้า พี- จำนวนเฉพาะ. ตัวอย่างเช่น, ( ซี/2ซี, +, ) – ฟิลด์ขั้นต่ำของสององค์ประกอบ

3. เนื้อความที่ไม่สับเปลี่ยนคือเนื้อความของควอเทอร์เนียน - ชุดของควอเทอร์เนียนนั่นคือการแสดงออกของแบบฟอร์ม ชม.= ก + สอง + ซีเจ + ดีเค, ที่ไหน ก, ข, ค, ง  ร, ฉัน 2 = = เจ 2 = เค 2 = –1, ฉัน  เจ= เค= – เจ  ฉัน, เจ  เค= ฉัน= – เค  เจ, ฉัน  เค= – เจ= – เค  ฉันด้วยการดำเนินการบวกและการคูณ ควอเทอร์เนียนจะถูกเพิ่มและคูณทีละเทอม โดยคำนึงถึงสูตรข้างต้น สำหรับทุกคน ชม. 0 ควอเทอร์เนียนผกผันมีรูปแบบ:
.

มีวงแหวนที่มีตัวหารเป็นศูนย์และวงแหวนที่ไม่มีตัวหารเป็นศูนย์

คำนิยาม 4.1.5. หากวงแหวนมีองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ กและ ขดังนั้น ก  ข= 0 จากนั้นจะถูกเรียก ตัวหารศูนย์และแหวนเองก็- แหวนที่มีตัวแบ่งเป็นศูนย์. มิฉะนั้นจะเรียกว่าแหวน วงแหวนที่ไม่มีตัวหารเป็นศูนย์.

ตัวอย่าง 4.1.4.

1. แหวน ( ซี, +, ), (ถาม, +, ), (ร, +, ), (ค, +, ) – วงแหวนที่ไม่มีตัวหารเป็นศูนย์

2. ในวงแหวน ( วี 3 (ร), +, ) ทุกองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์จะมีตัวหารเป็นศูนย์ เนื่องจาก
สำหรับทุกอย่าง
วี 3 (ร).

3. ในวงแหวนเมทริกซ์ ม 3 (ซี) ตัวอย่างของตัวหารศูนย์คือเมทริกซ์
และ
, เพราะ ก  บี = โอ(เมทริกซ์ศูนย์)

4. ในวงแหวน ( ซี/ nซี, +, ) ด้วยคอมโพสิต n= เค  มที่ไหน 1< เค, ม < n,ชั้นสารตกค้าง และ เป็นตัวหารเป็นศูนย์ เนื่องจาก . 

ด้านล่างนี้เรานำเสนอคุณสมบัติหลักของวงแหวนและฟิลด์

เกี่ยวกับการบวก;

\forall a \in R\;  \exists b \in R \left(a + b = b + a = 0\right)

- การมีอยู่ขององค์ประกอบตรงข้ามที่สัมพันธ์กับการบวก

(a \times b) \times c=a \times (b \times c)

- ความสัมพันธ์ของการคูณ

\left\(\begin(เมทริกซ์) a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c) \\ (b + c) \times a = (b \times a) + ( c \times a) \end(เมทริกซ์)\right

- การกระจายสินค้า

แทนที่จะเป็นสัญลักษณ์ $\ครั้ง$ มักใช้สัญลักษณ์ $\cdot$ หรือละเว้นไปเลย

คุณสมบัติที่ง่ายที่สุด

คุณสมบัติต่อไปนี้สามารถได้รับโดยตรงจากสัจพจน์ของวงแหวน:

แนวคิดพื้นฐาน

ประเภทขององค์ประกอบวงแหวน

ปล่อยให้แหวนมีองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ (แหวนไม่สำคัญ) จากนั้นตัวหารศูนย์ด้านซ้ายจะเป็นองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ $ก$ แหวน $อาร์$ ซึ่งมีองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ $ข$ แหวน $อาร์$ ดังนั้น $ab=0.$ ตัวหารศูนย์ทางขวาจะถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน ในวงแหวนสับเปลี่ยนแนวคิดเหล่านี้เกิดขึ้นพร้อมกัน ตัวอย่าง: พิจารณาวงแหวนของฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลา $(-1, 1).$ เอาล่ะใส่ $ฉ(x)=\สูงสุด(0, x)$ $ก.(x)=\สูงสุด(0, -x)$ แล้ว $f\ne0, g\ne0, fg=0,$ นั่นคือ $ฉ ก$ เป็นตัวหารเป็นศูนย์ นี่คือเงื่อนไข $ฉ\n0$ หมายความว่า $ฉ$ เป็นฟังก์ชันที่ไม่เป็นศูนย์ แต่ไม่ได้หมายความว่าอย่างนั้น $ฉ$ ไม่สำคัญที่ไหน $0.$

ถ้า $ก$ – องค์ประกอบตามอำเภอใจของวงแหวนที่มีความสามัคคี $อาร์$ จากนั้นองค์ประกอบผกผันด้านซ้ายถึง $ก$ เรียกว่า $ก^(-1)_(ล.)$ ดังนั้น $ก^(-1)_(ล)ก=1.$ องค์ประกอบผกผันด้านขวาถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน ถ้าธาตุ $ก$ มีทั้งอินเวอร์สซ้ายและขวา จากนั้นอันหลังก็ตรงกัน และเราพูดอย่างนั้น $ก$ มีองค์ประกอบผกผันซึ่งถูกกำหนดและแสดงไว้โดยเฉพาะ $เอ^(-1)$ องค์ประกอบนั้นเรียกว่าองค์ประกอบที่พลิกกลับได้

ซูริง

เซตย่อย $A\เซตย่อย R$ เรียกว่า ซับริง $อาร์$ ถ้า $ก$ เป็นตัววงแหวนที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการที่กำหนดไว้ $ร.$ ในขณะเดียวกันพวกเขาก็พูดอย่างนั้น $ร$ - การขยายตัวของวงแหวน $ก.$ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือเซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่า $A\เซตย่อย R$ เป็นวงย่อยถ้า

$ก$ เป็นกลุ่มย่อยของการบวกของวงแหวน $อาร์$ นั่นคือเพื่อสิ่งใดสิ่งหนึ่ง $x, y \ใน A: x+y, -x \ใน A,$
$ก$ ถูกปิดภายใต้การคูณ นั่นคือ สำหรับค่าใดๆ $x, y \in A: xy \in A$

วงแหวนย่อยสืบทอดคุณสมบัติของการสับเปลี่ยน

เซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่า $ฉัน$ แหวน $ร$ เรียกว่า อุดมคติของฝ่ายซ้าย, ถ้า:

$ฉัน$ เป็นกลุ่มย่อยของการบวกของวงแหวน นั่นคือผลรวมขององค์ประกอบสองตัวใดๆ จาก $ฉัน$ เป็นของ $ฉัน,$ และ $a\in I\ลูกศรขวา -a\in I.$

ฉันถูกปิดภายใต้การคูณทางซ้ายโดยองค์ประกอบที่กำหนดเองของวงแหวนนั่นคือสำหรับค่าใดก็ได้ $\ในฉัน$ $ร\ในอาร์$ ขวา $รา\อิน ฉัน$

คุณสมบัติข้อแรกยังบอกเป็นนัยว่า I ถูกปิดด้วยการคูณภายในตัวมันเอง ดังนั้น I จึงเป็นวงย่อย

อุดมคติที่ถูกต้องซึ่งปิดด้วยการคูณด้วยองค์ประกอบของวงแหวนทางด้านขวาก็ถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน
อุดมคติสองด้าน(หรือเพียงแค่ ในอุดมคติ) แหวน $ร$ - สับเซตที่ไม่ว่างใดๆ ที่เป็นทั้งอุดมคติทางซ้ายและขวา

แหวนในอุดมคติด้วย $ร$ สามารถกำหนดได้ว่าเป็นแก่นของโฮโมมอร์ฟิซึมบางชนิด $ฉ: R \ถึง R"$

ถ้า $x$ - องค์ประกอบแหวน $อาร์$ แล้วเซตขององค์ประกอบของแบบฟอร์ม $รับ$ (ตามลำดับ $เอ็กซ์อาร์$ ) เรียกว่าอุดมคติหลักทางซ้าย (ตามลำดับ ขวา) ที่สร้างโดย $x.$ ถ้าเป็นแหวน $ร$ คำจำกัดความเหล่านี้เกิดขึ้นพร้อมกันและเกิดอุดมคติหลักขึ้น $เอ็กซ์,$ แสดงโดย $(เอ็กซ์)$ ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนคู่ทั้งหมดก่อให้เกิดอุดมคติในวงแหวนของจำนวนเต็ม อุดมคตินี้ถูกสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบที่ 2 สามารถพิสูจน์ได้ว่าอุดมคติทั้งหมดในวงแหวนของจำนวนเต็มนั้นเป็นหลักการ

อุดมคติของวงแหวนที่ไม่ตรงกับวงแหวนทั้งหมดเรียกว่าแบบง่าย ถ้าวงแหวนผลหารของอุดมคตินี้ไม่มีตัวหารเป็นศูนย์
อุดมคติของวงแหวนที่ไม่ตรงกับวงแหวนทั้งหมดและไม่มีอยู่ในอุดมคติที่ใหญ่กว่าและไม่เท่ากับวงแหวนเรียกว่าสูงสุด

โฮโมมอร์ฟิซึม

โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน (โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน)เป็นการแมปที่คงการดำเนินการบวกและการคูณไว้ กล่าวคือเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมจากวงแหวน $ร$ ในวงแหวน $ส$ เป็นฟังก์ชัน $f: R\ถึงS,$ ดังนั้น

$ฉ(ก + ข) = ฉ(ก) + ฉ(ข)$
$f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b), ~\forall a, b \in ~R$

ในกรณีของวงแหวนที่มีเอกภาพ บางครั้งจำเป็นต้องมีเงื่อนไขด้วย $ฉ(1) = 1$ .

เรียกว่าโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน มอร์ฟิซึมหากมีโฮโมมอร์ฟิซึมแบบผกผันของวงแหวน โฮโมมอร์ฟิซึ่มแบบ bijective ใดๆ ของวงแหวนถือเป็นมอร์ฟิซึม ออโตมอร์ฟิซึมคือโฮโมมอร์ฟิซึมจากวงแหวนถึงตัวมันเอง ซึ่งเป็นมอร์ฟิซึม ตัวอย่าง: การแมปเอกลักษณ์ของวงแหวนบนตัวมันเองนั้นเป็นออโตมอร์ฟิซึม

ถ้า $f:R\ถึงเอส$ - โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน, เซตขององค์ประกอบ $อาร์$ การไปสู่ศูนย์เรียกว่าเคอร์เนล $ฉ$ (แสดง $\คณิตศาสตร์(เคอร์)f$ ). แกนหลักของโฮโมมอร์ฟิซึมนั้นเป็นอุดมคติสองด้าน ในทางกลับกันรูปภาพ $ฉ$ ไม่ใช่อุดมคติเสมอไป แต่เป็นส่วนย่อย $ส$ (แสดง $\mathrm(im)f$ ).

แหวนปัจจัย

คำจำกัดความของวงแหวนผลหารตามอุดมคตินั้นคล้ายคลึงกับคำจำกัดความของกลุ่มผลหาร แม่นยำยิ่งขึ้นคือวงแหวนตัวประกอบของวงแหวน $ร$ ตามอุดมคติสองด้าน $ฉัน$ คือเซตของโคเซตของกลุ่มสารบวก $ร$ โดยกลุ่มย่อยการบวก $ฉัน$ ด้วยการดำเนินการดังต่อไปนี้:

$(ก + ฉัน) + (ข + ฉัน) = (ก + ข) + ฉัน$
$(ก + ฉัน)(ข + ฉัน) = (ab) + ฉัน$

เช่นเดียวกับกรณีของกลุ่ม มีโฮโมมอร์ฟิซึมที่เป็นที่ยอมรับ $p: R\ถึง R/I,$ ให้ไว้เป็น $x \mapsto x + I.$ แกนกลางคืออุดมคติ $ฉัน.$

คล้ายกับทฤษฎีบทว่าด้วยโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม มีทฤษฎีบทว่าด้วยโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน: อนุญาต $ฉ: R\ถึง R",$ แล้ว $\mathrm(Im) f$ isomorphic กับวงแหวนผลหารด้วยความเคารพต่อเคอร์เนลโฮโมมอร์ฟิซึม $\mathrm(Im) f \simeq A/\mathrm(Ker) f.$

แหวนคลาสพิเศษบางประเภท

ตัวอย่าง

$\{ 0\}$ - วงแหวนเล็กน้อยที่ประกอบด้วยหนึ่งศูนย์ นี่เป็นวงแหวนเดียวที่ศูนย์เป็นหน่วยคูณ การพิจารณาตัวอย่างเล็กๆ น้อยๆ นี้เป็นวงแหวนจากมุมมองของทฤษฎีหมวดหมู่จะมีประโยชน์ เนื่องจากในกรณีนี้วัตถุปลายทางจะเกิดขึ้นในประเภทของวงแหวน
$\mathbb(Z)$ - จำนวนเต็ม (ด้วยการบวกและการคูณปกติ) นี่เป็นตัวอย่างที่สำคัญที่สุดของวงแหวน เนื่องจากวงแหวนใดๆ ก็ถือเป็นพีชคณิตได้ $\Z$ . นี่คือออบเจ็กต์เริ่มต้นในหมวดหมู่ด้วย แหวนแหวนพร้อมหน่วย
$\mathbb(Z)_n$ - วงแหวนของสารตกค้างแบบโมดูโลจำนวนธรรมชาติ n นี่เป็นตัวอย่างคลาสสิกของวงแหวนจากทฤษฎีจำนวน วงแหวนตกค้างจะเป็นสนามก็ต่อเมื่อตัวเลข n เป็นจำนวนเฉพาะเท่านั้น ฟิลด์ที่เกี่ยวข้องเป็นจุดเริ่มต้นสำหรับการสร้างทฤษฎีของฟิลด์จำกัด วงแหวนตกค้างยังมีความสำคัญในการศึกษาโครงสร้างของหมู่อะบีเลียนที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด และยังสามารถนำมาใช้สร้างตัวเลข p-adic ได้อีกด้วย
$\mathbb(Q)$ - วงแหวนของจำนวนตรรกยะซึ่งเป็นสนาม นี่เป็นฟิลด์ที่ง่ายที่สุดของคุณลักษณะ 0 ซึ่งเป็นเป้าหมายหลักของการศึกษาในทฤษฎีจำนวน การกรอกข้อมูลให้เสร็จสิ้นตามมาตรฐานที่ไม่เท่ากันจะทำให้ได้ฟิลด์ของจำนวนจริง $\อาร์$ และหมายเลขพี-เอดิค $\Q_p,$ โดยที่ p คือจำนวนเฉพาะใดๆ
สำหรับวงแหวนสับเปลี่ยนตามอำเภอใจ $ร$ คุณสามารถสร้างวงแหวนของพหุนามในตัวแปร n ตัวได้ $ร$ ด้วยอัตราต่อรองใน $ร.$ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง, $R[x][y]=ร.$ วงแหวนพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มคือวงแหวนพหุนามสากล ในแง่ที่ว่าวงแหวนพหุนามทั้งหมดแสดงในรูปของผลิตภัณฑ์เทนเซอร์: $R = R\otimes\left(\Z\right)$
วงแหวนของเซตย่อยของเซต $เอ็กซ์$ เป็นวงแหวนที่มีธาตุย่อยอยู่ด้วย $เอ็กซ์$ . การดำเนินการบวกคือผลต่างสมมาตร และการคูณคือจุดตัดของเซต:

A + B = A \Delta B = (A\setminus B) \cup (B \setminus A)

A\cdot B = A\cap B

สัจพจน์ของวงแหวนนั้นง่ายต่อการตรวจสอบ องค์ประกอบศูนย์คือเซตว่าง องค์ประกอบเอกลักษณ์คือทุกสิ่ง

เอ็กซ์

องค์ประกอบทั้งหมดของวงแหวนเป็นแบบ idempotent กล่าวคือ

A\cดอท A = A

องค์ประกอบใดๆ ก็ตามจะกลับกันโดยการบวก:

เอ+เอ=0.

วงแหวนของเซตย่อยมีความสำคัญในทฤษฎีพีชคณิตแบบบูลและทฤษฎีการวัด โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการสร้างทฤษฎีความน่าจะเป็น

การก่อสร้าง

สินค้าตรง

ให้ R และ S เป็นวงแหวน แล้วสินค้า $R\คูณ S$ สามารถจัดให้มีโครงสร้างวงแหวนธรรมชาติได้ การดำเนินการระบุไว้ดังนี้: สำหรับรายการใดรายการหนึ่ง $r_1,r_2\ในอาร์$ , $s_1,s_2\ในเอส:$

$(r_1,s_1)+(r_2,s_2)=(r_1+r_2,s_1+s_2)$
$(r_1,s_1)\cdot (r_2,s_2)=(r_1r_2,s_1s_2)$

มีโครงสร้างที่คล้ายกันสำหรับผลิตภัณฑ์ของตระกูลวงแหวนตามอำเภอใจ (ระบุการบวกและการคูณเป็นส่วนประกอบ)

วงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึม

ให้ A เป็นกลุ่ม Abelian (การดำเนินการกลุ่มจะถูกเขียนเพิ่มเติมในส่วนต่อไปนี้) จากนั้นชุดของโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มนี้เข้าสู่ตัวมันเอง (นั่นคือเอนโดมอร์ฟิซึม) ก่อตัวเป็นวงแหวนซึ่งแสดงโดย End( ก) . ผลรวมของโฮโมมอร์ฟิซึมสองตัวถูกกำหนดเป็นส่วนประกอบ: $(ฉ+ก)(x)=ฉ(x)+ก(x)$ และผลิตภัณฑ์ก็เหมือนกับองค์ประกอบของโฮโมมอร์ฟิซึม: $(ฉ)(x)=ฉ(ก(x))$ ถ้า A เป็นกลุ่มที่ไม่ใช่ Abelian แล้ว $ฉ+ก,$ โดยทั่วไปแล้วมันไม่เหมือนกัน $ก+ฉ$ ในขณะที่การบวกในวงแหวนจะต้องเป็นการสับเปลี่ยน

สาขาผลหารและวงแหวนของผลหาร

ให้ R เป็นวงแหวนอินทิกรัล จากนั้นโครงสร้างต่อไปนี้ช่วยให้เราสามารถสร้างสนามที่เล็กที่สุดที่บรรจุมันได้ สนามผลหารของวงแหวน R คือเซตของคลาสความเท่าเทียมกันของเศษส่วนทางการ $พี/คิว,\; p,q\ใน R$ โดยความสัมพันธ์สมมูลดังต่อไปนี้:

$(p_1 \over q_1)\sim (p_2 \over q_2)$ แล้วและเมื่อเท่านั้น $(p_1q_2)= (p_2q_1)$

โดยมีการดำเนินงานปกติ: $\scriptstyle(a \over b)+(c \over d)=(ad+bc \over bd),\quad (a \over b)\cdot (c \over d)=(ac \over bd)$

ไม่ชัดเจนว่าความสัมพันธ์ที่ให้มานั้นเป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันจริงๆ เพื่อพิสูจน์ว่าเราต้องใช้ความสมบูรณ์ของวงแหวน มีลักษณะทั่วไปของโครงสร้างนี้กับวงแหวนสับเปลี่ยนตามอำเภอใจ กล่าวคือ ให้ S เป็นระบบปิดแบบคูณในวงแหวนสับเปลี่ยน R (นั่นคือ เซตย่อยที่มีหนึ่งและไม่มีศูนย์ ผลคูณของสององค์ประกอบใดๆ จากเซตย่อยอีกครั้งจะเป็นของมัน) แล้วก็วงแหวนแห่งความฉลาดทาง $ส^(-1)ร$ คือเซตของคลาสที่เท่ากันของเศษส่วนทางการ $r/s,\; r\ใน R, s\ใน S$ โดยความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน:

$(r_1 \over s_1)\sim (r_2 \over s_2)$ ถ้าและถ้ามีอยู่ $s"\ในเอส$ , ดังนั้น $ส"(r_1s_2-r_2s_1)= 0.$

การออกแบบนี้เรียกอีกอย่างว่า การแปลแหวน(เนื่องจากในเรขาคณิตพีชคณิตทำให้สามารถศึกษาคุณสมบัติเฉพาะของความหลากหลาย ณ จุดแต่ละจุดได้) ตัวอย่าง: วงแหวนของเศษส่วนทศนิยมคือการแปลวงแหวนของจำนวนเต็มตามระบบคูณ $S=$10^n|n\geqslant 0$$

มีการทำแผนที่ตามธรรมชาติ $R \ถึง S^(-1)R, \, r \mapstor / 1$ แกนกลางประกอบด้วยองค์ประกอบดังต่อไปนี้ รซึ่งมีอยู่ ส ∈ ส, ดังนั้น $อาร์เอส = 0.$ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับวงแหวนอินทิกรัล การทำแผนที่นี้เป็นแบบฉีด

คำอธิบายหมวดหมู่

วงแหวน ร่วมกับโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน ก่อให้เกิดหมวดหมู่ ซึ่งมักจะแสดงแทน แหวน(บางครั้งนี่คือวิธีการแสดงประเภทของแหวนที่มีหน่วยและประเภทของแหวนธรรมดาจะแสดงแทน รง). ประเภทของแหวนที่มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวนั้นมีคุณสมบัติที่มีประโยชน์มากมาย โดยเฉพาะมีความสมบูรณ์และครบถ้วน ซึ่งหมายความว่ามีขีดจำกัดและโคลิมิตเล็กๆ ทั้งหมดอยู่ในนั้น (เช่น ผลิตภัณฑ์ ผลิตภัณฑ์ร่วม เมล็ดพืช และโคเคอร์เนล) ประเภทของวงแหวนที่มีหนึ่งมีวัตถุเริ่มต้น (ring $\mathbb Z$ ) และวัตถุเทอร์มินัล (วงแหวนว่าง)

เราสามารถให้คำนิยามที่เป็นหมวดหมู่ของวงแหวนได้ดังต่อไปนี้: วงแหวนที่เชื่อมโยงซึ่งมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวคือโมโนอยด์ในหมวดหมู่ของกลุ่มอะบีเลียน (กลุ่มอะบีเลียนก่อตัวเป็นหมวดหมู่เดี่ยวที่เกี่ยวข้องกับการทำงานของผลิตภัณฑ์เทนเซอร์) การกระทำของแหวน รบนหมู่อาบีเลียน (วงแหวนที่ถือว่าเป็นโมโนดด์ภายใต้การคูณ) เปลี่ยนหมู่อาบีเลียนให้เป็น ร-โมดูล แนวคิดของโมดูลทำให้แนวคิดของปริภูมิเวกเตอร์เป็นภาพรวม พูดง่ายๆ ก็คือ โมดูลคือ "ปริภูมิเวกเตอร์เหนือวงแหวน"

คลาสพิเศษของแหวน

โครงสร้างเหนือวงแหวน

เขียนบทวิจารณ์เกี่ยวกับบทความ "แหวน (คณิตศาสตร์)"

หมายเหตุ

, กับ. 17-19.
เบลสกี้ เอ., ซาดอฟสกี้ แอล.ควอนตัมหมายเลข 2, 1974
อีริช เรค// สารานุกรมปรัชญาสแตนฟอร์ด / Edward N. Zalta - 01-01-2555.
, กับ. 9.
, กับ. 18-19.
, กับ. 273-275.
, กับ. 51-53.
, กับ. สิบเอ็ด
, กับ. 359.
, กับ. 407.
, กับ. 110-111.
, กับ. 21.
, กับ. 437.
, กับ. 64.
, กับ. 153.
, กับ. 430-431.
, กับ. 406.
, กับ. 10.
, กับ. 388.
, กับ. 107-108.
, กับ. 432.
, กับ. 387-390.
, กับ. 523.
, กับ. 152.
, กับ. 430.
, กับ. 118.
.
, กับ. 266.
, กับ. 28-34.
, กับ. 509-512.
, กับ. 33.
, กับ. 173.
, กับ. 450-452.
, กับ. 305-311.

วรรณกรรม

เอ็ม. อติยาห์, ไอ. แมคโดนัลด์.พีชคณิตสับเปลี่ยนเบื้องต้น - อ.: มีร์ 2515 - 160 น.
เบลสกี้ เอ., ซาดอฟสกี้ แอล.ควอนตัมหมายเลข 2, 1974
ฟาน เดอร์ แวร์เดน บี.แอล.พีชคณิต. - อ.: มีร์ 2518 - 623 หน้า
วินเบิร์ก อี.บี.หลักสูตรพีชคณิต - ฉบับใหม่แก้ไขแล้ว และเพิ่มเติม.. - อ.: MTsNMO, 2554. - 592 หน้า
เกลเซอร์ จี.ไอ.ประวัติคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน: เกรด IX-X คู่มือครู-ฉบับปรับปรุงใหม่ และเพิ่มเติม.. - อ.: การศึกษา, 2526. - 351 น.
Kolmogorov A. N. , Yushkevich A. P. (เอ็ด)คณิตศาสตร์แห่งศตวรรษที่ 19 ตรรกะทางคณิตศาสตร์ พีชคณิต. ทฤษฎีจำนวน ทฤษฎีความน่าจะเป็น - อ.: Nauka, 2521. - 255 น.
คูลิคอฟ แอล. ยา.พีชคณิตและทฤษฎีจำนวน: หนังสือเรียน. คู่มือสำหรับสถาบันการสอน - ม.: สูงกว่า. โรงเรียน พ.ศ. 2522 - 559 น.
คูรอช เอ.จี.หลักสูตรพีชคณิตขั้นสูง.. - อ.: Nauka, 2511. - 431 น.
ใบหน้าเคพีชคณิต. วงแหวน โมดูล หมวดหมู่.. - M.: Mir, 1977. - T. 1. - 688 p.
ใบหน้าเคพีชคณิต. วงแหวน โมดูล หมวดหมู่.. - M.: Mir, 1979. - T. 2. - 464 p.
แฮร์สไตน์ ไอ.วงแหวนที่ไม่สับเปลี่ยน - อ.: มีร์ 2515 - 190 น.

ข้อความที่ตัดตอนมาจากลักษณะวงแหวน (คณิตศาสตร์)

เอ็กซ์
หลังจากงานศพของบิดาของเธอ เจ้าหญิงมารียาขังตัวเองอยู่ในห้องของเธอและไม่อนุญาตให้ใครเข้ามา มีหญิงสาวคนหนึ่งมาที่ประตูเพื่อบอกว่าอัลปาติชมาขอคำสั่งให้ออกไป (นี่เป็นก่อนที่ Alpatych จะสนทนากับ Dron ด้วยซ้ำ) เจ้าหญิง Marya ลุกขึ้นจากโซฟาที่เธอนอนอยู่และพูดผ่านประตูที่ปิดอยู่ว่าเธอจะไม่ไปไหนเลยและขอให้ถูกทิ้งให้อยู่ตามลำพัง
หน้าต่างห้องที่เจ้าหญิงมารียานอนหันหน้าไปทางทิศตะวันตก เธอนอนบนโซฟาหันหน้าไปทางผนังแล้วใช้นิ้วกดปุ่มบนหมอนหนังเห็นเพียงหมอนใบนี้และความคิดที่คลุมเครือของเธอก็จดจ่ออยู่กับสิ่งหนึ่ง: เธอกำลังคิดถึงความตายที่ไม่อาจย้อนกลับได้และความน่าสะอิดสะเอียนทางจิตวิญญาณของเธอซึ่ง เธอไม่รู้มาจนถึงตอนนี้และปรากฏตัวขึ้นในช่วงที่พ่อของเธอป่วย เธอต้องการแต่ไม่กล้าสวดภาวนา ไม่กล้าหันไปหาพระเจ้าในสภาพจิตใจที่เธอเป็นอยู่ เธอนอนอยู่ในตำแหน่งนี้เป็นเวลานาน
พระอาทิตย์ตกที่อีกฟากหนึ่งของบ้านและแสงยามเย็นที่ส่องผ่านหน้าต่างที่เปิดอยู่ทำให้ห้องและหมอนโมร็อกโกส่วนหนึ่งที่เจ้าหญิงมารียาจ้องมองอยู่ ความคิดของเธอหยุดกะทันหัน เธอลุกขึ้นยืนโดยไม่รู้ตัว ยืดผม ลุกขึ้นยืนเดินไปที่หน้าต่าง สูดความเย็นของยามเย็นที่อากาศแจ่มใสแต่มีลมแรงโดยไม่ตั้งใจ
“ใช่แล้ว ตอนนี้มันสะดวกสำหรับคุณที่จะชื่นชมในตอนเย็น! เขาไปแล้ว และจะไม่มีใครมารบกวนคุณ” เธอพูดกับตัวเอง แล้วทรุดตัวลงนั่งบนเก้าอี้ เธอก็ล้มหัวลงบนขอบหน้าต่างก่อน
มีคนเรียกเธอด้วยเสียงอ่อนโยนและเงียบสงบจากด้านข้างสวนแล้วจูบเธอที่หัว เธอมองย้อนกลับไป นั่นคือ Mlle Bourienne ในชุดเดรสสีดำและกระโปรงยาว เธอเข้าหาเจ้าหญิงมารีอาอย่างเงียบ ๆ จูบเธอด้วยการถอนหายใจและเริ่มร้องไห้ทันที เจ้าหญิงมารีอามองย้อนกลับไปที่เธอ การปะทะกันครั้งก่อน ๆ กับเธอ ความอิจฉาริษยาต่อเธอ เป็นที่จดจำของเจ้าหญิงมารีอา ฉันยังจำได้ว่าเขาเปลี่ยนมาเป็น Bourienne เมื่อเร็ว ๆ นี้มองไม่เห็นเธอได้อย่างไรดังนั้นการตำหนิที่เจ้าหญิง Marya ทำกับเธอในจิตวิญญาณของเธอจึงไม่ยุติธรรมเลย “และฉันที่อยากให้เขาตายควรประณามใครไหม? - เธอคิดว่า.
เจ้าหญิงแมรียาจินตนาการถึงตำแหน่งของแม่บูเรียนซึ่งเพิ่งอยู่ห่างจากสังคมของเธอเมื่อไม่นานมานี้ แต่ในขณะเดียวกันก็ขึ้นอยู่กับเธอและอาศัยอยู่ในบ้านของคนอื่น และเธอก็รู้สึกเสียใจแทนเธอ เธอมองเธออย่างถ่อมตัวอย่างสงสัยและยื่นมือออกไป Mlle Bourienne เริ่มร้องไห้ทันที เริ่มจูบมือของเธอและพูดคุยเกี่ยวกับความเศร้าโศกที่เกิดขึ้นกับเจ้าหญิง ทำให้ตัวเองมีส่วนร่วมในความเศร้าโศกนี้ เธอบอกว่าสิ่งเดียวที่ปลอบใจในความโศกเศร้าของเธอคือการที่เจ้าหญิงอนุญาตให้เธอแบ่งปันเรื่องนี้กับเธอ เธอกล่าวว่าความเข้าใจผิดในอดีตทั้งหมดควรถูกทำลายก่อนจะโศกเศร้าครั้งใหญ่ ว่าเธอรู้สึกบริสุทธิ์ต่อหน้าทุกคน และจากที่นั่นเขาจะได้เห็นความรักและความกตัญญูของเธอ เจ้าหญิงฟังเธอไม่เข้าใจคำพูดของเธอ แต่บางครั้งก็มองดูเธอและฟังเสียงของเธอ
“สถานการณ์ของคุณเลวร้ายเป็นสองเท่า เจ้าหญิงที่รัก” Mlle Bourienne กล่าวหลังจากหยุดไปครู่หนึ่ง – ฉันเข้าใจว่าคุณไม่สามารถและไม่สามารถคิดถึงตัวเองได้ แต่ฉันจำเป็นต้องทำเช่นนี้ด้วยความรักที่ฉันมีต่อคุณ... Alpatych อยู่กับคุณไหม? เขาคุยกับคุณเรื่องการจากไปหรือเปล่า? - เธอถาม.
เจ้าหญิงมารีอาไม่ตอบ เธอไม่เข้าใจว่าควรจะไปที่ไหนและใคร “ ตอนนี้เป็นไปได้ไหมที่จะทำอะไรเพื่อคิดอะไร? มันไม่สำคัญเหรอ? เธอไม่ตอบ
“คุณรู้ไหม เชียร์มารี” บูเรียนกล่าว “คุณรู้ไหมว่าเรากำลังตกอยู่ในอันตราย ว่าเราถูกฝรั่งเศสล้อมรอบ การเดินทางตอนนี้มันอันตราย ถ้าเราไปเราเกือบจะถูกจับแน่นอน และพระเจ้าก็รู้...
เจ้าหญิงมารีอามองดูเพื่อนของเธอโดยไม่เข้าใจว่าเธอพูดอะไร
“โอ้ ถ้ามีคนรู้ว่าตอนนี้ฉันไม่สนใจมากแค่ไหน” เธอกล่าว - แน่นอน ฉันไม่อยากทิ้งเขาไป... อัลปาติชบอกฉันบางอย่างเกี่ยวกับการจากไป... คุยกับเขา ฉันทำอะไรไม่ได้ ฉันไม่ต้องการอะไร...
– ฉันคุยกับเขา. เขาหวังว่าเราจะมีเวลาออกเดินทางพรุ่งนี้ แต่ฉันคิดว่าตอนนี้มันคงจะดีกว่าถ้าอยู่ที่นี่” บูเรียนกล่าว - เพราะคุณเห็นไหมว่าเชียร์มารีการตกอยู่ในมือของทหารหรือคนก่อการจลาจลบนท้องถนนคงจะแย่มาก - Mlle Bourienne หยิบเอาการประกาศในเอกสารพิเศษที่ไม่ใช่ของรัสเซียจากนายพล Rameau ชาวฝรั่งเศสว่าผู้อยู่อาศัยไม่ควรออกจากบ้าน โดยบอกว่าพวกเขาจะได้รับการคุ้มครองตามสมควรจากทางการฝรั่งเศส และส่งมอบให้กับเจ้าหญิง
“ฉันคิดว่าติดต่อนายพลคนนี้ดีกว่า” คุณบูเรียนกล่าว “และฉันมั่นใจว่าคุณจะได้รับความเคารพอย่างสมควร”
เจ้าหญิงแมรียาอ่านหนังสือพิมพ์ และสะอื้นแห้งส่ายหน้า
- คุณผ่านเรื่องนี้มาจากใคร? - เธอพูด.
“พวกเขาคงพบว่าฉันเป็นคนฝรั่งเศสในชื่อ” บูเรียนกล่าวพร้อมหน้าแดง
เจ้าหญิงแมรียาถือกระดาษอยู่ในมือ ลุกขึ้นจากหน้าต่างด้วยใบหน้าซีดเซียว ออกจากห้องและไปที่ห้องทำงานเดิมของเจ้าชายอังเดร
“ Dunyasha โทรหา Alpatych, Dronushka ใครสักคนให้ฉัน” เจ้าหญิง Marya กล่าว“ และบอก Amalya Karlovna ว่าอย่ามาหาฉัน” เธอกล่าวเสริมเมื่อได้ยินเสียงของ M lle Bourienne - รีบไปซะ! ไปเร็ว ๆ! - เจ้าหญิงแมรียากล่าวด้วยความตกใจกับความคิดที่ว่าเธอจะยังคงอยู่ในอำนาจของฝรั่งเศสได้
“ เพื่อให้เจ้าชายอังเดรรู้ว่าเธออยู่ในอำนาจของฝรั่งเศส! ดังนั้นเธอซึ่งเป็นลูกสาวของเจ้าชาย Nikolai Andreich Bolkonsky จึงขอให้นายพล Rameau มอบความคุ้มครองให้เธอและรับผลประโยชน์ของเขา! “ความคิดนี้ทำให้เธอหวาดกลัว ทำให้เธอตัวสั่น หน้าแดง และรู้สึกถึงความโกรธและความภาคภูมิใจที่เธอยังไม่เคยสัมผัสมาก่อน ทุกสิ่งที่ยากและที่สำคัญที่สุดคือน่ารังเกียจในตำแหน่งของเธอถูกจินตนาการไว้อย่างชัดเจนสำหรับเธอ “พวกเขาซึ่งเป็นชาวฝรั่งเศสจะตั้งถิ่นฐานอยู่ในบ้านหลังนี้ นายพล Rameau จะเข้ารับตำแหน่งเจ้าชาย Andrei; การจัดเรียงและอ่านจดหมายและเอกสารของเขาคงจะสนุกดี M lle Bourienne lui fera les honneurs de Bogucharovo. [Mademoiselle Bourien จะต้อนรับเขาด้วยเกียรติใน Bogucharovo] พวกเขาจะมอบห้องแห่งความเมตตาแก่ฉัน ทหารจะทำลายหลุมศพใหม่ของพ่อเพื่อเอาไม้กางเขนและดวงดาวออกไปจากเขา พวกเขาจะบอกฉันเกี่ยวกับชัยชนะเหนือรัสเซีย พวกเขาจะแสร้งทำเป็นเห็นอกเห็นใจต่อความเศร้าโศกของฉัน... - เจ้าหญิงแมรียาไม่ได้คิดด้วยความคิดของเธอเอง แต่รู้สึกผูกพันที่จะต้องคิดเองตามความคิดของพ่อและพี่ชายของเธอ สำหรับเธอเป็นการส่วนตัว มันไม่สำคัญว่าเธอจะอยู่ที่ไหนและไม่ว่าจะเกิดอะไรขึ้นกับเธอ แต่ในขณะเดียวกันเธอก็รู้สึกเหมือนเป็นตัวแทนของพ่อผู้ล่วงลับและเจ้าชายอังเดร เธอคิดโดยไม่สมัครใจกับความคิดของพวกเขาและรู้สึกถึงพวกเขาด้วยความรู้สึกของพวกเขา ไม่ว่าพวกเขาจะพูดอะไร ไม่ว่าพวกเขาจะทำตอนนี้ นั่นคือสิ่งที่เธอรู้สึกว่าจำเป็นต้องทำ เธอไปที่ห้องทำงานของเจ้าชายอังเดรและพยายามเจาะลึกความคิดของเขาและไตร่ตรองสถานการณ์ของเธอ
ความต้องการแห่งชีวิตซึ่งเธอคิดว่าถูกทำลายพร้อมกับการตายของพ่อของเธอ จู่ๆ ก็เกิดขึ้นพร้อมกับพลังใหม่ที่ยังไม่เป็นที่รู้จักต่อหน้าเจ้าหญิงมารียาและครอบงำเธอ เธอเดินไปรอบ ๆ ห้องด้วยความตื่นเต้นและหน้าแดงโดยเรียกร้อง Alpatych คนแรกจากนั้นคือ Mikhail Ivanovich จากนั้น Tikhon จากนั้น Dron Dunyasha พี่เลี้ยงเด็กและเด็กผู้หญิงทุกคนไม่สามารถพูดอะไรเกี่ยวกับขอบเขตที่สิ่งที่ Mlle Bourienne ประกาศนั้นยุติธรรม อัลปาติชไม่อยู่บ้าน เขาไปพบผู้บังคับบัญชาแล้ว มิคาอิลอิวาโนวิชสถาปนิกผู้ถูกเรียกตัวซึ่งมาหาเจ้าหญิงมารีอาด้วยสายตาง่วงนอนไม่สามารถพูดอะไรกับเธอได้ ด้วยรอยยิ้มแบบเดียวกับที่เขาคุ้นเคยเป็นเวลาสิบห้าปีในการตอบสนองต่อคำอุทธรณ์ของเจ้าชายชราโดยไม่แสดงความคิดเห็น เขาได้ตอบคำถามของเจ้าหญิงมารียา เพื่อที่จะไม่สามารถสรุปคำตอบที่แน่นอนได้จากคำตอบของเขา คนรับใช้เก่า Tikhon ที่ถูกอัญเชิญมาซึ่งมีใบหน้าทรุดโทรมและซีดเซียวมีรอยแห่งความเศร้าโศกที่รักษาไม่หายตอบว่า "ฉันรับฟัง" สำหรับคำถามทั้งหมดของเจ้าหญิงแมรียาและแทบจะไม่สามารถยับยั้งตัวเองจากการสะอื้นเมื่อมองดูเธอ
ในที่สุดผู้เฒ่าดรอนก็เข้ามาในห้องและโค้งคำนับเจ้าหญิงแล้วมาหยุดที่ทับหลัง
เจ้าหญิงมารีอาเดินไปรอบๆ ห้องและหยุดตรงข้ามเขา
“ Dronushka” เจ้าหญิง Marya กล่าวซึ่งเห็นเพื่อนที่ไม่ต้องสงสัยในตัวเขา Dronushka คนเดียวกับที่จากการเดินทางไปงานประจำปีใน Vyazma ทุกปีได้นำขนมปังขิงพิเศษของเขามาให้เธอทุกครั้งและเสิร์ฟเธอด้วยรอยยิ้ม “ Dronushka หลังจากโชคร้ายของเรา” เธอเริ่มและเงียบลงไม่สามารถพูดต่อไปได้
“เราทุกคนเดินอยู่ใต้พระเจ้า” เขากล่าวพร้อมกับถอนหายใจ พวกเขาเงียบ
- Dronushka, Alpatych ไปที่ไหนสักแห่งฉันไม่มีใครให้หันไปหา จริงหรือที่พวกเขาบอกฉันว่าฉันไปไม่ได้?
“เหตุใดท่านไม่ไป ฯพณฯ ท่านไปได้แล้ว” ดรอนกล่าว
“พวกเขาบอกฉันว่ามันอันตรายจากศัตรู” ที่รัก ฉันทำอะไรไม่ได้เลย ฉันไม่เข้าใจอะไรเลย ไม่มีใครอยู่กับฉันเลย ฉันอยากไปตอนกลางคืนหรือเช้าตรู่พรุ่งนี้อย่างแน่นอน – เสียงพึมพำเงียบ เขาเหลือบมองเจ้าหญิงมารีอาจากใต้คิ้วของเขา
“ ไม่มีม้า” เขากล่าว“ ฉันก็บอก Yakov Alpatych ด้วย”
- ทำไมจะไม่ล่ะ? - เจ้าหญิงกล่าว
“ทั้งหมดนี้มาจากการลงโทษของพระเจ้า” Dron กล่าว “ม้าตัวไหนที่ถูกรื้อถอนเพื่อใช้ในกองทหาร ตัวไหนตาย วันนี้ปีอะไร” มันไม่เหมือนกับการให้อาหารม้า แต่ต้องแน่ใจว่าเราจะไม่ตายด้วยความหิวโหย! และพวกเขาก็นั่งอย่างนั้นเป็นเวลาสามวันโดยไม่รับประทานอาหาร ไม่มีอะไรเลย พวกมันเสียหายไปหมดแล้ว
เจ้าหญิงมารีอาตั้งใจฟังสิ่งที่เขาบอกเธออย่างตั้งใจ
- ผู้ชายถูกทำลายหรือเปล่า? พวกเขาไม่มีขนมปังเหรอ? - เธอถาม.
“พวกมันกำลังจะตายด้วยความอดอยาก” ดรอนพูด “ไม่เหมือนเกวียน…”
- ทำไมคุณไม่บอกฉัน Dronushka? ช่วยไม่ได้เหรอ? ฉันจะทำทุกอย่างที่ทำได้... - เป็นเรื่องแปลกที่เจ้าหญิงแมรียาคิดว่าในเวลานี้ เมื่อความเศร้าโศกท่วมท้นในจิตวิญญาณของเธอ อาจมีทั้งคนรวยและคนจน และคนรวยไม่สามารถช่วยเหลือคนจนได้ เธอรู้และได้ยินมาอย่างคลุมเครือว่ามีขนมปังของนายและถูกแจกให้กับชาวนา เธอรู้ด้วยว่าทั้งพี่ชายและพ่อของเธอจะไม่ปฏิเสธความต้องการของชาวนา เธอเพียงแต่กลัวว่าจะทำผิดในคำพูดของเธอเกี่ยวกับการแจกขนมปังให้กับชาวนาซึ่งเธอต้องการจะกำจัดทิ้ง เธอดีใจที่ได้รับข้อแก้ตัวสำหรับความกังวล ซึ่งเธอไม่ละอายใจที่จะลืมความโศกเศร้าของเธอ เธอเริ่มขอรายละเอียดเกี่ยวกับความต้องการของผู้ชาย Dronushka และสิ่งที่สูงส่งใน Bogucharovo
– ในที่สุดเราก็มีขนมปังของอาจารย์แล้วน้องชาย? - เธอถาม.
“ขนมปังของนายไม่เสียหายเลย” ดรอนพูดอย่างภาคภูมิใจ “เจ้าชายของเราไม่ได้สั่งให้ขาย”
“ มอบเขาให้กับชาวนามอบทุกสิ่งที่พวกเขาต้องการ: ฉันอนุญาตคุณในนามของพี่ชายของฉัน” เจ้าหญิงมารีอากล่าว
โดรนไม่ได้พูดอะไรและหายใจเข้าลึกๆ
“คุณให้ขนมปังนี้แก่พวกเขาถ้ามันเพียงพอสำหรับพวกเขา” ทิ้งทุกสิ่งทุกอย่างไป ฉันสั่งคุณในนามของพี่ชายของฉันและบอกพวกเขาว่าของเราอะไรก็เป็นของพวกเขาเช่นกัน เราจะไม่เหลืออะไรให้พวกเขา ดังนั้นบอกฉัน.
เสียงพึมพำมองดูเจ้าหญิงอย่างตั้งใจขณะที่เธอพูด
“ปล่อยฉันเถอะแม่ เพื่อเห็นแก่พระเจ้า บอกให้ฉันรับกุญแจด้วย” เขากล่าว “ฉันรับใช้มายี่สิบสามปี ฉันไม่ได้ทำอะไรไม่ดี ปล่อยฉันไว้คนเดียวเพื่อเห็นแก่พระเจ้า
เจ้าหญิงแมรียาไม่เข้าใจว่าเขาต้องการอะไรจากเธอ และทำไมเขาถึงขอไล่ตัวเองออก เธอตอบเขาว่าเธอไม่เคยสงสัยในความทุ่มเทของเขาและเธอพร้อมที่จะทำทุกอย่างเพื่อเขาและเพื่อผู้ชาย

หนึ่งชั่วโมงหลังจากนั้น Dunyasha มาหาเจ้าหญิงพร้อมกับข่าวว่า Dron มาถึงแล้วและผู้ชายทุกคนตามคำสั่งของเจ้าหญิงก็มารวมตัวกันที่โรงนาเพื่อต้องการคุยกับนายหญิง
“ ใช่ ฉันไม่เคยโทรหาพวกเขาเลย” เจ้าหญิงมารีอากล่าว“ ฉันแค่บอกให้ Dronushka ให้ขนมปังพวกเขาเท่านั้น”
“เพื่อเห็นแก่พระเจ้าเท่านั้น องค์หญิงแม่ โปรดสั่งพวกเขาออกไปและอย่าไปหาพวกเขา” ทั้งหมดมันเป็นเรื่องโกหก” Dunyasha กล่าว “แล้ว Yakov Alpatych จะมาและเราจะไป... และถ้าคุณกรุณา...
- การหลอกลวงแบบไหน? - เจ้าหญิงถามด้วยความประหลาดใจ
- ใช่ ฉันรู้ แค่ฟังฉันเพื่อเห็นแก่พระเจ้า ลองถามพี่เลี้ยงดูสิ พวกเขาบอกว่าพวกเขาไม่ตกลงที่จะออกคำสั่งของคุณ
- คุณกำลังพูดอะไรผิด ใช่ ฉันไม่เคยสั่งให้ออกไป... - เจ้าหญิงมารีอากล่าว - โทรหา Dronushka
Dron ที่มาถึงยืนยันคำพูดของ Dunyasha: คนเหล่านี้มาตามคำสั่งของเจ้าหญิง
“ใช่ ฉันไม่เคยโทรหาพวกเขาเลย” เจ้าหญิงกล่าว “คุณคงไม่ถ่ายทอดให้พวกเขาฟังอย่างถูกต้อง” ฉันแค่บอกให้คุณเอาขนมปังให้พวกเขา
โดรนถอนหายใจโดยไม่ตอบ
“ถ้าคุณสั่ง พวกเขาจะออกไป” เขากล่าว
“ไม่ ไม่ ฉันจะไปหาพวกเขา” เจ้าหญิงมารีอากล่าว
แม้ว่า Dunyasha และพี่เลี้ยงจะห้ามปราม แต่เจ้าหญิง Marya ก็ออกไปที่ระเบียง Dron, Dunyasha, พี่เลี้ยงเด็กและ Mikhail Ivanovich ติดตามเธอ “ พวกเขาอาจคิดว่าฉันกำลังเสนอขนมปังให้พวกเขาเพื่อที่พวกเขาจะได้อยู่ในที่ของพวกเขาและฉันจะจากไปโดยละทิ้งพวกเขาให้อยู่ในความเมตตาของชาวฝรั่งเศส” เจ้าหญิงมารียาคิด – ฉันจะสัญญากับพวกเขาหนึ่งเดือนในอพาร์ตเมนต์ใกล้มอสโกว ฉันแน่ใจว่าอังเดรคงจะทำมากกว่านี้แทนฉัน” เธอคิดขณะเดินเข้าไปหาฝูงชนที่ยืนอยู่ในทุ่งหญ้าใกล้โรงนาในเวลาพลบค่ำ
ฝูงชนที่หนาแน่นเริ่มปั่นป่วนและหมวกของพวกเขาก็หลุดออกมาอย่างรวดเร็ว เจ้าหญิงแมรียาก้มหน้าลงและเท้าพันกันในชุดของเธอ เข้ามาใกล้พวกเขา ดวงตาทั้งวัยและวัยที่แตกต่างกันมากมายจับจ้องไปที่เธอ และมีใบหน้าที่แตกต่างกันมากมายจนเจ้าหญิงมารียาไม่เห็นหน้าเดียวและเมื่อรู้สึกว่าจำเป็นต้องพูดคุยกับทุกคนในทันใดก็ไม่รู้ว่าต้องทำอย่างไร แต่การตระหนักรู้อีกครั้งว่าเธอเป็นตัวแทนของพ่อและพี่ชายของเธอทำให้เธอเข้มแข็งขึ้นและเธอก็เริ่มพูดอย่างกล้าหาญ
“ ฉันดีใจมากที่คุณมา” เจ้าหญิงมารีอาเริ่มโดยไม่ละสายตาและรู้สึกว่าหัวใจของเธอเต้นเร็วและแรงแค่ไหน “ Dronushka บอกฉันว่าคุณถูกทำลายโดยสงคราม” นี่เป็นความโศกเศร้าร่วมกันของเรา และฉันจะไม่ละเว้นสิ่งใดที่จะช่วยคุณ ฉันจะไปเองเพราะมันอันตรายที่นี่แล้วและศัตรูก็ใกล้เข้ามาแล้ว ... เพราะ... ฉันให้ทุกอย่างแก่คุณเพื่อน ๆ และฉันขอให้คุณเอาทุกอย่างขนมปังของเราทั้งหมดเพื่อที่คุณจะได้ไม่มี ความต้องการใด ๆ และถ้าพวกเขาบอกคุณว่าฉันจะให้ขนมปังแก่คุณเพื่อที่คุณจะได้อยู่ที่นี่ ก็ไม่เป็นความจริง ในทางตรงกันข้าม ฉันขอให้คุณทิ้งทรัพย์สินทั้งหมดของคุณไปยังภูมิภาคมอสโกของเรา และที่นั่น ฉันก็รับไว้เองและสัญญากับคุณว่าคุณจะไม่ขัดสน พวกเขาจะมอบบ้านและขนมปังแก่คุณ - เจ้าหญิงหยุด ได้ยินเพียงเสียงถอนหายใจในฝูงชน
“ฉันไม่ได้ทำสิ่งนี้ด้วยตัวเอง” เจ้าหญิงกล่าวต่อ “ฉันกำลังทำสิ่งนี้ในนามของพ่อผู้ล่วงลับของฉัน ซึ่งเป็นเจ้านายที่ดีสำหรับคุณ และเพื่อน้องชายของฉันและลูกชายของเขา”
เธอหยุดอีกครั้ง ไม่มีใครขัดขวางความเงียบของเธอ
- ความโศกเศร้าของเราเป็นเรื่องปกติ และเราจะแบ่งทุกอย่างออกเป็นสองส่วน “ทุกสิ่งที่เป็นของฉันเป็นของคุณ” เธอพูดโดยมองไปรอบ ๆ ใบหน้าที่ยืนอยู่ตรงหน้าเธอ
ทุกสายตามองเธอด้วยสีหน้าเดียวกัน ความหมายที่เธอไม่เข้าใจ ไม่ว่าจะเป็นความอยากรู้อยากเห็น การอุทิศตน ความกตัญญู หรือความกลัวและไม่ไว้วางใจ การแสดงออกบนใบหน้าของทุกคนก็เหมือนกัน
“หลายคนพอใจกับความเมตตาของคุณ แต่เราไม่จำเป็นต้องรับขนมปังของนาย” เสียงหนึ่งดังมาจากด้านหลัง
- ทำไมจะไม่ล่ะ? - เจ้าหญิงกล่าว
ไม่มีใครตอบ และเจ้าหญิงแมรียาเมื่อมองไปรอบๆ ฝูงชนก็สังเกตเห็นว่าตอนนี้ดวงตาทั้งหมดที่เธอพบก็ลดลงทันที
- ทำไมคุณไม่ต้องการ? เธอถามอีกครั้ง
ไม่มีใครตอบ
เจ้าหญิงมารีอารู้สึกหนักใจจากความเงียบนี้ เธอพยายามสบตาใครบางคน
- ทำไมคุณไม่พูด? - เจ้าหญิงหันไปหาชายชราที่ยืนพิงไม้ยืนอยู่ตรงหน้าเธอ - บอกฉันหากคุณคิดว่าจำเป็นต้องมีสิ่งอื่นอีก “ฉันจะทำทุกอย่าง” เธอพูดพร้อมกับจ้องมองเขา แต่ราวกับโกรธเขาก็ก้มหัวลงจนสุดแล้วพูดว่า:
- ตกลงทำไมเราไม่ต้องการขนมปัง
- เราควรยอมแพ้ทั้งหมดไหม? ไม่เห็นด้วย. เราไม่เห็นด้วย... เราไม่เห็นด้วย เรารู้สึกเสียใจสำหรับคุณ แต่เราไม่เห็นด้วย ไปคนเดียวเถอะ...” ได้ยินเสียงฝูงชนจากหลายทิศทาง และอีกครั้งที่การแสดงออกแบบเดียวกันนี้ปรากฏบนใบหน้าของฝูงชนเหล่านี้ และตอนนี้มันอาจไม่ใช่การแสดงออกถึงความอยากรู้อยากเห็นและความกตัญญูอีกต่อไป แต่เป็นการแสดงออกถึงความมุ่งมั่นอันขมขื่น
“คุณไม่เข้าใจใช่ไหม” เจ้าหญิงมารีอาพูดด้วยรอยยิ้มเศร้าๆ - ทำไมคุณถึงไม่อยากไป? ฉันสัญญาว่าจะเลี้ยงคุณและเลี้ยงอาหารคุณ และที่นี่ศัตรูจะทำลายคุณ...
แต่เสียงของเธอกลับถูกกลบด้วยเสียงของฝูงชน
“เราไม่ได้รับความยินยอม ปล่อยให้เขาทำลายมัน!” เราไม่รับขนมปังของคุณ เราไม่ได้รับความยินยอมจากเรา!
เจ้าหญิงแมรียาพยายามจับตาดูใครบางคนจากฝูงชนอีกครั้ง แต่ไม่มีการมองมาที่เธอเลยแม้แต่ครั้งเดียว ดวงตาเห็นได้ชัดว่าหลีกเลี่ยงเธอ เธอรู้สึกแปลกและเคอะเขิน
- ดูสิเธอสอนฉันอย่างชาญฉลาด ตามเธอไปที่ป้อมปราการ! ทำลายบ้านของคุณและเข้าสู่ความเป็นทาสแล้วไป ทำไม! ฉันจะให้ขนมปังแก่คุณพวกเขาพูด! – ได้ยินเสียงในฝูงชน
เจ้าหญิงมารีอาก้มศีรษะลงแล้วออกจากวงกลมแล้วเข้าไปในบ้าน หลังจากสั่งโดรนนาซ้ำว่าพรุ่งนี้ควรมีม้าออกเดินทาง เธอจึงไปที่ห้องของเธอและทิ้งความคิดไว้ตามลำพัง

เป็นเวลานานในคืนนั้น เจ้าหญิงมารีอานั่งอยู่ที่หน้าต่างที่เปิดอยู่ในห้องของเธอ ฟังเสียงผู้ชายพูดมาจากหมู่บ้าน แต่เธอไม่ได้คิดถึงพวกเขาเลย เธอรู้สึกว่าไม่ว่าเธอคิดถึงพวกเขามากแค่ไหนเธอก็ไม่สามารถเข้าใจพวกเขาได้ เธอเอาแต่คิดถึงสิ่งหนึ่ง - เกี่ยวกับความเศร้าโศกของเธอ ซึ่งตอนนี้หลังจากหยุดพักเนื่องจากความกังวลเกี่ยวกับปัจจุบัน ก็กลายเป็นอดีตสำหรับเธอแล้ว ตอนนี้เธอจำได้แล้ว เธอร้องไห้ได้ และเธออธิษฐานได้ เมื่อพระอาทิตย์ตกดิน ลมก็สงบลง ค่ำคืนนั้นเงียบสงบและสดชื่น เมื่อเวลาสิบสองนาฬิกาเสียงเริ่มจางลง ไก่ก็ขัน พระจันทร์เต็มดวงเริ่มโผล่ออกมาจากด้านหลังต้นลินเด็น หมอกน้ำค้างสีขาวสดชื่นปรากฏขึ้น และความเงียบก็ปกคลุมไปทั่วหมู่บ้านและบ้าน
ภาพแห่งอดีตอันใกล้ปรากฏแก่เธอทีละภาพ - ความเจ็บป่วยและนาทีสุดท้ายของพ่อของเธอ และด้วยความยินดีอันน่าเศร้า ตอนนี้เธอหมกมุ่นอยู่กับภาพเหล่านี้ และขับรถออกไปจากตัวเธอเองด้วยความสยดสยองเพียงภาพสุดท้ายของการตายของเขา ซึ่งเธอรู้สึกได้ เธอไม่สามารถไตร่ตรองได้แม้แต่ในจินตนาการของเธอในช่วงเวลาอันเงียบสงบและลึกลับของค่ำคืนนี้ และภาพเหล่านี้ปรากฏแก่เธอด้วยความชัดเจนและมีรายละเอียดมากจนดูเหมือนกับความเป็นจริงสำหรับเธอแล้ว บัดนี้เป็นอดีต บัดนี้คืออนาคต
จากนั้นเธอก็จินตนาการได้อย่างแจ่มชัดถึงช่วงเวลาที่เขาเป็นโรคหลอดเลือดสมองและถูกลากออกจากสวนในเทือกเขาหัวโล้นด้วยแขน และเขาก็พึมพำอะไรบางอย่างด้วยลิ้นไร้สมรรถภาพ ขมวดคิ้วสีเทาแล้วมองดูเธออย่างกระสับกระส่ายและขี้อาย
“ถึงกระนั้นเขาก็อยากจะบอกฉันในสิ่งที่เขาบอกฉันในวันที่เขาเสียชีวิต” เธอคิด “เขาหมายถึงสิ่งที่เขาบอกฉันเสมอ” ดังนั้นเธอจึงจำรายละเอียดทั้งหมดได้ในคืนนั้นในเทือกเขาหัวโล้นก่อนเกิดเหตุการณ์ระเบิดที่เกิดขึ้นกับเขาเมื่อเจ้าหญิงมารีอารู้สึกถึงปัญหาและยังคงอยู่กับเขาโดยขัดกับความประสงค์ของเขา เธอนอนไม่หลับ และในตอนกลางคืนเธอก็ย่อตัวลงมาชั้นล่าง และขึ้นไปที่ประตูร้านดอกไม้ที่พ่อของเธอพักค้างคืนนั้นเพื่อฟังเสียงของเขา เขาพูดอะไรบางอย่างกับ Tikhon ด้วยน้ำเสียงเหนื่อยล้าและเหนื่อยล้า เห็นได้ชัดว่าเขาต้องการพูดคุย “แล้วทำไมเขาไม่โทรหาฉันล่ะ? ทำไมเขาถึงไม่อนุญาตให้ฉันอยู่ที่นี่แทน Tikhon? - เจ้าหญิงมารีอาคิดแล้วและตอนนี้ “เขาจะไม่มีวันบอกทุกสิ่งที่อยู่ในจิตวิญญาณของเขาให้ใครฟัง” ช่วงเวลานี้จะไม่มีวันหวนกลับมาหาเขาและสำหรับฉัน เมื่อเขาจะพูดทุกสิ่งที่เขาต้องการจะพูด และฉันจะฟังและเข้าใจเขา ไม่ใช่ Tikhon ทำไมฉันถึงไม่เข้าห้องล่ะ? - เธอคิดว่า. “บางทีเขาอาจจะบอกฉันแล้วว่าเขาพูดอะไรในวันที่เขาเสียชีวิต” ถึงอย่างนั้นในการสนทนากับ Tikhon เขาก็ถามเกี่ยวกับฉันสองครั้ง เขาต้องการพบฉัน แต่ฉันยืนอยู่ที่นี่นอกประตู เขาเศร้ายากที่จะคุยกับ Tikhon ที่ไม่เข้าใจเขา ฉันจำได้ว่าเขาพูดกับเขาเกี่ยวกับลิซ่าราวกับว่าเธอยังมีชีวิตอยู่ - เขาลืมไปว่าเธอเสียชีวิตและ Tikhon ก็เตือนเขาว่าเธอไม่อยู่ที่นั่นอีกต่อไปแล้วเขาก็ตะโกนว่า: "คนโง่" มันยากสำหรับเขา ฉันได้ยินจากด้านหลังประตูว่าเขานอนบนเตียง คร่ำครวญ และตะโกนเสียงดังว่า “พระเจ้า! ทำไมฉันถึงไม่ลุกขึ้นมาล่ะ?” เขาจะทำอะไรกับฉัน? ฉันจะต้องสูญเสียอะไร? และบางทีตอนนั้นเขาคงจะสบายใจแล้ว เขาคงจะพูดคำนี้กับฉัน” และเจ้าหญิงมารีอาก็ทรงตรัสถ้อยคำอันใจดีที่พระองค์ตรัสกับเธอในวันที่พระองค์เสด็จสวรรคต "ที่รัก! – เจ้าหญิงมารีอาพูดซ้ำคำนี้และเริ่มสะอื้นด้วยน้ำตาที่ปลอบประโลมจิตใจ ตอนนี้เธอเห็นใบหน้าของเขาต่อหน้าเธอ ไม่ใช่ใบหน้าที่เธอรู้จักตั้งแต่จำความได้และที่เธอเคยเห็นมาแต่ไกล และใบหน้านั้น - ขี้อายและอ่อนแอซึ่งในวันสุดท้ายก้มลงไปที่ปากของเขาเพื่อฟังสิ่งที่เขาพูดเธอตรวจดูอย่างใกล้ชิดเป็นครั้งแรกด้วยรอยย่นและรายละเอียดทั้งหมด
“ที่รัก” เธอพูดซ้ำ
“เขาคิดอะไรอยู่ตอนที่พูดคำนั้น? ตอนนี้เขากำลังคิดอะไรอยู่? - ทันใดนั้นมีคำถามเกิดขึ้นกับเธอ และเพื่อตอบคำถามนี้ เธอเห็นเขาอยู่ตรงหน้าเธอด้วยสีหน้าของเขาแบบเดียวกับที่เขาอยู่ในโลงศพ บนใบหน้าของเขาผูกด้วยผ้าพันคอสีขาว และความสยดสยองที่เกาะกุมเธอเมื่อเธอสัมผัสเขาและมั่นใจว่าไม่ใช่แค่เขาเท่านั้น แต่ยังมีบางสิ่งลึกลับและน่ารังเกียจที่เกาะกุมเธออยู่ตอนนี้ เธออยากคิดเรื่องอื่น อยากสวดมนต์ แต่ก็ทำอะไรไม่ได้ เธอมองดูแสงจันทร์และเงาด้วยดวงตาเบิกกว้าง ทุกวินาทีที่เธอคาดหวังว่าจะได้เห็นใบหน้าที่ตายแล้วของเขา และรู้สึกว่าความเงียบที่ปกคลุมบ้านและในบ้านพันธนาการเธอ
- ดุนยาชา! – เธอกระซิบ - ดุนยาชา! - เธอกรีดร้องด้วยเสียงดุร้าย และออกจากความเงียบ แล้ววิ่งไปที่ห้องเด็กผู้หญิง ไปหาพี่เลี้ยงเด็ก และเด็กผู้หญิงก็วิ่งมาหาเธอ

เมื่อวันที่ 17 สิงหาคม Rostov และ Ilyin พร้อมด้วย Lavrushka ซึ่งเพิ่งกลับมาจากการถูกจองจำและเสือชั้นนำจากค่าย Yankovo ของพวกเขาสิบห้าบทจาก Bogucharovo ไปขี่ม้า - เพื่อลองม้าตัวใหม่ที่ Ilyin ซื้อและ ค้นหาว่ามีหญ้าแห้งในหมู่บ้านหรือไม่
Bogucharovo อยู่ระหว่างสามวันที่ผ่านมาระหว่างกองทัพศัตรูทั้งสอง ดังนั้นกองหลังของรัสเซียจึงสามารถเข้าไปที่นั่นได้อย่างง่ายดายพอๆ กับกองหน้าฝรั่งเศส ดังนั้น Rostov ในฐานะผู้บัญชาการฝูงบินที่เอาใจใส่ ต้องการใช้ประโยชน์จากเสบียงที่เหลืออยู่ ใน Bogucharovo ก่อนฝรั่งเศส
Rostov และ Ilyin มีอารมณ์ร่าเริงที่สุด ระหว่างทางไป Bogucharovo ไปยังที่ดินของเจ้าชายซึ่งมีที่ดินซึ่งพวกเขาหวังว่าจะได้พบคนรับใช้ตัวใหญ่และสาวสวยพวกเขาถาม Lavrushka เกี่ยวกับนโปเลียนและหัวเราะกับเรื่องราวของเขาหรือขับรถไปรอบ ๆ ลองใช้ม้าของ Ilyin
Rostov ไม่รู้หรือคิดว่าหมู่บ้านที่เขาเดินทางไปนี้เป็นที่ดินของ Bolkonsky คนเดียวกันซึ่งเป็นคู่หมั้นของน้องสาวของเขา
Rostov และ Ilyin ปล่อยม้าออกไปเป็นครั้งสุดท้ายเพื่อขับม้าเข้าไปในลากหน้า Bogucharov และ Rostov เมื่อแซงหน้า Ilyin ได้เป็นคนแรกที่ควบม้าไปตามถนนของหมู่บ้าน Bogucharov
“ คุณเป็นผู้นำ” อิลลินหน้าแดงกล่าว
“ ใช่ทุกอย่างไปข้างหน้าและข้างหน้าในทุ่งหญ้าและที่นี่” Rostov ตอบพร้อมใช้มือลูบก้นทะยานของเขา
“ และในภาษาฝรั่งเศส ฯพณฯ ของคุณ” Lavrushka พูดจากด้านหลังเรียกรถลากเลื่อนของเขาว่าฝรั่งเศส“ ฉันคงจะแซงไปแล้ว แต่ฉันแค่ไม่อยากทำให้เขาอับอาย”
พวกเขาเดินขึ้นไปที่โรงนา ใกล้ ๆ ซึ่งมีผู้ชายจำนวนมากยืนอยู่

คำจำกัดความและตัวอย่างของกลุ่ม

โอเดอร์1. ให้ G เป็นเซตขององค์ประกอบที่ไม่ว่างเปล่าซึ่งมีลักษณะตามอำเภอใจ จีเรียกว่า กลุ่ม

1) ให้ Bao ° บนเซต G

2) bao °มีความเชื่อมโยง

3) มีธาตุที่เป็นกลาง nÎG.

4) สำหรับองค์ประกอบใดๆ ของ G จะมีองค์ประกอบที่สมมาตรกับองค์ประกอบนั้นอยู่เสมอและเป็นของ G ด้วย

ตัวอย่าง.เซตของ Z – ตัวเลขที่มีการดำเนินการ +

อ๊อด2.กลุ่มนี้มีชื่อว่า อาเบเลียนถ้าเป็นการสับเปลี่ยนด้วยความเคารพต่อ bao° ที่กำหนด

ตัวอย่างของกลุ่ม:

1) Z,R,Q “+” (Z+)

คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของกลุ่ม

มีองค์ประกอบที่เป็นกลางเพียงองค์ประกอบเดียวในกลุ่ม

ในกลุ่ม แต่ละองค์ประกอบจะมีองค์ประกอบเดียวที่สมมาตร

ให้ G เป็นกลุ่มที่มี bao ° จากนั้นสมการของรูปแบบ:

a°x=b และ x°a=b (1) แก้ได้และมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว

การพิสูจน์. ลองพิจารณาสมการ (1) สำหรับ x แน่นอนสำหรับ $! a" เนื่องจากการดำเนินการ ° เป็นการเชื่อมโยง ดังนั้นเห็นได้ชัดว่า x=b°a" จึงเป็นทางออกเดียว

34. ความเท่าเทียมกันของการทดแทน*

คำจำกัดความ 1. เรียกว่าการทดแทน สม่ำเสมอหากมันถูกสลายเป็นผลคูณของการขนย้ายจำนวนคู่และเป็นเลขคี่

ประโยคที่ 1.การแทน

เป็นคู่กัน<=>- แม้กระทั่งการเรียงสับเปลี่ยน ดังนั้นจำนวนการแทนที่คู่

ของจำนวน n เท่ากับ n!\2

ประโยคที่ 2. การแทนที่ f และ f - 1 มีอักขระพาริตีเหมือนกัน

> ก็เพียงพอที่จะตรวจสอบว่าเป็นผลคูณของการขนย้ายแล้ว<

ตัวอย่าง:

กลุ่มย่อย เกณฑ์กลุ่มย่อย

Def.ให้ G เป็นกลุ่มที่มี bao° และเซตย่อยที่ไม่ว่างของ HÌG จากนั้น H จะถูกเรียกว่ากลุ่มย่อยของ G ถ้า H เป็นกลุ่มย่อยเทียบกับ bao° (นั่นคือ ° คือ bao บน H และ H ด้วยการดำเนินการนี้คือ กลุ่ม)

ทฤษฎีบท (เกณฑ์กลุ่มย่อย)ให้ G เป็นกลุ่มที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการ°, Æ¹HÎG H เป็นกลุ่มย่อย<=>"h 1 ,h 2 ОH เงื่อนไข h 1 °h 2 "ОH เป็นที่พอใจ (โดยที่ h 2 " เป็นองค์ประกอบสมมาตรของ h 2)

หมอ =>::ให้ H เป็นกลุ่มย่อย (คุณต้องพิสูจน์ว่า h 1 °h 2 "ОH) เอา h 1 ,h 2 ОH จากนั้น h 2 "ОH และ h 1 °h" 2 ОH (เนื่องจาก h" 2 เป็นองค์ประกอบสมมาตร ถึงชั่วโมง 2)

<=: (คุณต้องพิสูจน์ว่า H เป็นกลุ่มย่อย)

เนื่องจาก H¹Æ มีองค์ประกอบอย่างน้อยหนึ่งรายการอยู่ที่นั่น สมมติว่า hÎH, n=h°h"ОH นั่นคือองค์ประกอบที่เป็นกลาง nОH สำหรับ h 1 เรารับ n และสำหรับ h 2 เรารับ h จากนั้น h"ОH Þ " hОH องค์ประกอบสมมาตรของ h ก็เป็นของ H เช่นกัน

ให้เราพิสูจน์ว่าองค์ประกอบขององค์ประกอบใดๆ จาก H เป็นของ H

เอา h 1 มาใช้ และเหมือน h 2 เราก็เอา h" 2 Þ h 1 °(h 2 ") " ÎH, Þ h 1 °h 2 ÎH.

ตัวอย่าง. G=S n , n>2, α - องค์ประกอบบางส่วนจาก X=(1,…,n) เมื่อ H เราใช้เซตที่ไม่ว่าง H= S α n =(fО S n ,f(α)=α) ภายใต้การกระทำของการแมปจาก S α n α ยังคงอยู่ที่เดิม เราตรวจสอบตามเกณฑ์ ลองหา h 1 ,h 2 OH อะไรก็ได้ สินค้า ชั่วโมง 1. ชั่วโมง 2 "ОH เช่น H เป็นกลุ่มย่อยซึ่งเรียกว่ากลุ่มย่อยที่อยู่กับที่ขององค์ประกอบ α

ริง, ฟิลด์ ตัวอย่าง.

Def.อนุญาต ถึงเซตที่ไม่ว่างซึ่งมีการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต 2 แบบ ได้แก่ การบวกและการคูณ ถึงเรียกว่า แหวนหากตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

1) ถึง - กลุ่ม Abelian (สับเปลี่ยนด้วยความเคารพต่อ bao °ที่กำหนด) เกี่ยวกับการบวก;

2) การคูณมีความสัมพันธ์กัน

3) การคูณเป็นการแจกแจงด้วยความเคารพต่อการบวก()

หากการคูณเป็นการสับเปลี่ยนแล้ว ถึงเรียกว่า วงแหวนสลับ. หากมีองค์ประกอบที่เป็นกลางสัมพันธ์กับการคูณแล้ว ถึงเรียกว่า แหวนด้วยอันหนึ่ง.

ตัวอย่าง.

1) เซต Z ของจำนวนเต็มจะสร้างวงแหวนโดยสัมพันธ์กับการดำเนินการตามปกติของการบวกและการคูณ วงแหวนนี้สับเปลี่ยน เชื่อมโยง และมีเอกลักษณ์

2) เซต Q ของจำนวนตรรกยะและ R ของจำนวนจริงคือฟิลด์

สัมพันธ์กับการดำเนินการตามปกติของการบวกและการคูณตัวเลข

คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของวงแหวน

1. ตั้งแต่ ถึงเป็นกลุ่มอาเบเลียนที่เสริมเข้ามาแล้ว ถึงคุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของกลุ่มจะถูกถ่ายโอน

2. การคูณเป็นแบบกระจายโดยคำนึงถึงผลต่าง: a(b-c)=ab-ac

การพิสูจน์. เพราะ ab-ac+ac=ab และ a(b-c)+ac=a((b-c)+c)=a(b-c+c)=ab จากนั้น a(b-c)=ab-ac

3. แหวนอาจมีตัวหารเป็นศูนย์ได้ เช่น ab=0 แต่ต่อจากนี้ไปไม่ได้ว่า a=0 b=0

ตัวอย่างเช่น ในวงแหวนของเมทริกซ์ขนาด 2'2 มีองค์ประกอบที่ไม่เท่ากับศูนย์ซึ่งผลคูณของพวกมันจะเป็นศูนย์ โดยที่ - มีบทบาทเป็นองค์ประกอบที่เป็นศูนย์

4. ก·0=0·คือ=0.

การพิสูจน์. ให้ 0=b-b จากนั้น a(bb)=ab-ab=0 ในทำนองเดียวกัน 0·a=0

5. ก(-b)=(-ก) ข=-ab

พิสูจน์: a(-b)+ab=a((-b)+b)=a·0=0

6. ถ้าอยู่ในสังเวียน ถึงมีหน่วยและประกอบด้วยองค์ประกอบมากกว่าหนึ่งรายการ ดังนั้นหน่วยจะไม่เท่ากับศูนย์ โดยที่ 1─ เป็นองค์ประกอบที่เป็นกลางเมื่อทำการคูณ 0 ─องค์ประกอบที่เป็นกลางเมื่อเพิ่ม

7. ให้ ถึงวงแหวนที่มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว จากนั้นเซตขององค์ประกอบที่ผันกลับได้ของวงแหวนจะก่อตัวเป็นกลุ่มโดยคำนึงถึงการคูณ ซึ่งเรียกว่ากลุ่มการคูณของวงแหวน เคและแสดงถึง เค*.

Def.วงแหวนสับเปลี่ยนที่มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวซึ่งมีองค์ประกอบอย่างน้อยสององค์ประกอบ โดยที่องค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ จะกลับด้านได้ เรียกว่า สนาม.

คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของสนาม

1. เพราะ สนามคือวงแหวน จากนั้นคุณสมบัติของวงแหวนทั้งหมดจะถูกถ่ายโอนไปยังสนาม

2. ไม่มีตัวหารเป็นศูนย์ในฟิลด์ เช่น ถ้า ab=0 แล้ว a=0 หรือ b=0

การพิสูจน์.

ถ้า a¹0 แล้ว $ a -1 พิจารณา a -1 (ab)=(a -1 a)b=0 และถ้า a¹0 แล้ว b=0 ในทำนองเดียวกันถ้า b¹0

3. สมการที่อยู่ในรูปแบบ a´x=b, a¹0, b – ใดๆ ในสนามนี้มีคำตอบเฉพาะ x= a -1 b หรือ x=b/a

การแก้สมการนี้เรียกว่าการแก้สมการบางส่วน

ตัวอย่าง. 1)PÌC, P - ฟิลด์ตัวเลข 2)พี=(0;1);

คำอธิบายสั้น

คำนิยาม. วงแหวนคือพีชคณิต K = ‹K, +, -, ·, 1› ประเภท (2, 1, 2, 0) ซึ่งการดำเนินการหลักเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

ไฟล์แนบ : 1 ไฟล์

แหวน. คำนิยาม. ตัวอย่าง. คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของวงแหวน โฮโมมอร์ฟิซึมและมอร์ฟิซึมของวงแหวน

พีชคณิต ‹K, +, -› เป็นกลุ่มอาบีเลียน;
พีชคณิต ‹K, ·, 1› เป็นแบบ monoid;
การคูณเป็นแบบกระจายสัมพันธ์กับการบวก กล่าวคือ สำหรับสมาชิกใดๆ a, b, c จาก K

(a + b) c = a c + b c, c (a + b) = c a + c b

เซต K หลักของวงแหวน K ก็เขียนแทนด้วย |K| เช่นกัน องค์ประกอบของเซต K เรียกว่า องค์ประกอบของวงแหวน K

Def. หมู่ ‹K, +, -› เรียกว่ากลุ่มสารเติมแต่งของวงแหวน K ค่าศูนย์ของกลุ่มนี้ซึ่งก็คือองค์ประกอบที่เป็นกลางเมื่อเทียบกับการบวก เรียกว่าศูนย์ของวงแหวนและแทนด้วย 0 หรือ 0 K .

Def. โมโนอยด์ ‹K, ·, 1› เรียกว่า โมโนอยด์แบบคูณของวงแหวน K องค์ประกอบที่ 1 ซึ่งเขียนแทนด้วย 1 K เช่นกัน ซึ่งมีความเป็นกลางเมื่อพิจารณาจากการคูณ เรียกว่าหน่วยของวงแหวน K

วงแหวน K เรียกว่าสับเปลี่ยนถ้า a · b = b · a สำหรับสมาชิกใดๆ a, b ของวงแหวน วงแหวน K เรียกว่าศูนย์ถ้า |K| = (0 เคลวิน)

Def. วงแหวน K เรียกว่าโดเมนแห่งความสมบูรณ์หากเป็นการสับเปลี่ยน 0 K ≠ 1 K และสำหรับ a, b О K ใดๆ จาก a b = 0 จะตามมาด้วย a = 0 หรือ b = 0

Def. องค์ประกอบ a และ b ของวงแหวน K เรียกว่าตัวหารเป็นศูนย์ ถ้า a ≠ 0, b ≠ 0 หรือ ba = 0 (ขอบเขตความสมบูรณ์ใดๆ ไม่มีตัวหารเป็นศูนย์)

ตัวอย่าง. ให้ K เป็นเซตของฟังก์ชันจำนวนจริงทั้งหมดที่กำหนดบนเซต R ของจำนวนจริง ผลรวม f + g ผลคูณ f g ฟังก์ชัน

f(-1) และฟังก์ชันหน่วย 1 ถูกกำหนดไว้: (f + g) (x) = f (x) + g(x);

(ฉ ก)(x) = ฉ(x) ก(x); (–ฉ) (x) =–ฉ (x); 1(x) = 1 การตรวจสอบโดยตรงแสดงให้เห็นว่าพีชคณิต ‹K, +, -, ·, 1› เป็นวงแหวนสับเปลี่ยน

คุณสมบัติที่ง่ายที่สุด ให้ K เป็นแหวน เนื่องจากพีชคณิต ‹K, +, -› เป็นกลุ่มอาเบเลียน ดังนั้นสำหรับองค์ประกอบใดๆ a, b จาก K สมการ b + x = a มีคำตอบเฉพาะ a + (-b) ซึ่งเขียนแทนด้วย a – ข.

ถ้า a + b = a ดังนั้น b = 0;
ถ้า a + b = 0 ดังนั้น b = -a;
– (-ก) = ก;
0 · ก = ก · 0 = ก;
(-ก)ข = ก(-b) = -(ab);
(-ก)(-b) = ก · ข;
(a – b)c = ac – bc และ c(a – b) = ca – cb

ให้ K = ‹K, +, -, ◦, 1› และ K` = ‹K`, +, -, ·, 1`› - วงแหวน กล่าวกันว่าการจับคู่ h ของเซต K ถึง K` จะคงการดำเนินการหลักของวงแหวน K หากตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

h(a+b)=h(a)+h(b) สำหรับ a, b ใดๆ จากวงแหวน K;
h(-a)=-h(a) สำหรับ a ใดๆ จาก K;
h(a b) = h(a)◦h(b) สำหรับ a, b ใดๆ จาก K;
ชั่วโมง(1) = 1`.

Def. โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน K เข้าสู่ (บน) วงแหวน K` คือการโยงเซต K เข้ากับ (บน) K` ที่จะคงการทำงานหลักทั้งหมดของวงแหวน K ไว้ โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน K ไปยัง K` เรียกว่า คำวิเศษณ์

Def. โฮโมมอร์ฟิซึม h ของวงแหวน K ลงบนวงแหวน K` เรียกว่า มอร์ฟฟิซึม ถ้า h เป็นการแมปแบบฉีดของเซต K ลงบน K` วงแหวน K และ K` ถูกกล่าวว่าเป็น isomorphic ถ้ามี isomorphism ระหว่างวงแหวน K และวงแหวน K`

เอฟเอสบี4000เขียน:

2. ก) กลุ่มอาบีเลียนที่แบ่งแยกได้ไม่มีกลุ่มย่อยสูงสุด

ฉันคิดว่านั่นเป็นวิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์เพียงพอแล้วใช่ไหม ผู้ดำเนินรายการจะฝังคุณเพราะฉันได้อธิบายงานสองอย่างให้คุณครบถ้วนแล้ว!!! ดังนั้นเพื่อไม่ให้พวกเขาโกรธ เราจะจำกัดตัวเองอยู่แค่ความคิดเท่านั้น

ด้านล่างเราจะถือว่าอนุกรมธรรมชาติเริ่มต้นด้วยหนึ่งเสมอ

สมมติว่า --- เป็นกลุ่มที่หารลงตัว และ --- เป็นกลุ่มย่อยสูงสุดใน พิจารณา

พิสูจน์ว่า --- เป็นกลุ่มย่อยใน ซึ่งมี เนื่องจากสูงสุด จึงเป็นไปได้เพียงสองกรณีเท่านั้น: หรือ

พิจารณาแต่ละกรณีแยกกันและเกิดความขัดแย้ง ในกรณีนี้ให้นำไปพิสูจน์ว่า

เป็นกลุ่มย่อยที่เหมาะสมที่มีและไม่เท่ากับ ในกรณีของการแก้ไข และ เช่นนั้น และแสดงว่า

เป็นกลุ่มย่อยที่เหมาะสมของ มีและไม่ตรงกับ

เพิ่มหลังจาก 10 นาที 17 วินาที:

เอฟเอสบี4000เขียน:

b) ยกตัวอย่างกลุ่มอาบีเลียนที่แบ่งแยกได้ พวกมันมีขอบเขตจำกัดไหม

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือสิ่งนี้ อืมหรือ --- แล้วแต่คุณชอบที่สุด

สำหรับความจำกัด... แน่นอนว่า หมู่ที่หารลงตัวนั้นไม่มีขอบเขตจำกัด (ยกเว้นกรณีเล็กๆ น้อยๆ ที่กลุ่มประกอบด้วยศูนย์หนึ่งตัว) สมมติว่า --- เป็นกลุ่มที่มีขอบเขตจำกัด พิสูจน์ให้เห็นว่าบางส่วนและทั้งหมด จากนั้นนำสิ่งนี้มาและดูว่าสมการนี้แก้ไม่ได้หากไม่ใช่ศูนย์

เพิ่มหลังจาก 9 นาที 56 วินาที:

เอฟเอสบี4000เขียน:

4. สร้างตัวอย่างของวงแหวนสับเปลี่ยนและการเชื่อมโยง R ()() ซึ่งไม่มีอุดมคติสูงสุด

เอากลุ่มอาเบเลี่ยนไป แสดงว่าแบ่งได้.. ระบุการคูณดังนี้:

แสดงเพื่ออะไร. ทุกสิ่งที่ต้องทำก็เสร็จสิ้น

อ๊ะ!.. แต่ดูเหมือนว่าฉันจะคิดผิดที่นี่ มีอุดมคติสูงสุดก็เท่ากับ ใช่ ฉันยังต้องคิด... แต่ตอนนี้ฉันจะไม่คิดอะไรแล้ว ไปทำงานที่มหาวิทยาลัยดีกว่า อย่างน้อยคุณต้องทิ้งบางอย่างไว้ให้คุณตัดสินใจ!

เพิ่มหลังจาก 10 นาที 29 วินาที:

เอฟเอสบี4000เขียน:

1. พิสูจน์ว่าวงแหวนตามอำเภอใจที่มีเอกลักษณ์ประกอบด้วยอุดมคติสูงสุด

โดยวิธีแก้ปัญหา: 1. ด้วยบทแทรกของ Zorn เราเลือกองค์ประกอบเชิงบวกขั้นต่ำ มันจะเป็นตัวกำเนิดของอุดมคติ

คือ... ฉันไม่รู้ว่าคุณมีองค์ประกอบเชิงบวกขั้นต่ำแบบใด ในความคิดของฉันนี่เป็นเรื่องไร้สาระโดยสิ้นเชิง “องค์ประกอบเชิงบวก” ประเภทใดที่คุณสามารถพบได้ในวงแหวนที่กำหนดเอง หากไม่ได้ระบุลำดับในวงแหวนนี้ และไม่ชัดเจนว่าอะไรคือ “บวก” และอะไรคือ “เชิงลบ”...

แต่สำหรับข้อเท็จจริงที่ว่าเราจำเป็นต้องใช้บทแทรกของ Zorn นี่เป็นแนวคิดที่ถูกต้อง คุณเพียงแค่ต้องนำไปใช้กับชุดของอุดมคติที่เหมาะสมของแหวน คุณใช้เซตนี้ จัดลำดับตามความสัมพันธ์แบบรวมตามปกติ และแสดงว่าการจัดลำดับนี้เป็นแบบอุปนัย จากนั้น จากบทแทรกของ Zorn คุณจะสรุปได้ว่าเซตนี้มีองค์ประกอบสูงสุด องค์ประกอบสูงสุดนี้จะเป็นอุดมคติสูงสุด!

เมื่อคุณแสดงความเหนี่ยวนำ ให้ถือว่าสหภาพของพวกเขาเป็นขอบเขตบนของสายโซ่แห่งอุดมคติของคุณ มันจะเป็นแบบในอุดมคติด้วย แต่มันจะเป็นของตัวเองเพราะว่าหน่วยจะไม่รวมอยู่ในนั้น และยังไงก็ตาม ในวงแหวนที่ไม่มีหน่วย การพิสูจน์จะไม่ผ่านบทแทรกของ Zorn แต่ประเด็นทั้งหมดอยู่ในช่วงเวลานี้อย่างแม่นยำ

เพิ่มหลังจาก 34 นาที 54 วินาที:

อเล็กซีเขียน:

วงแหวนตามคำจำกัดความใดๆ ก็มีหน่วย ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะเขียนว่า "วงแหวนที่มีหน่วย" แหวนใดๆ ในตัวเองก็เป็นแหวนในอุดมคติ และยิ่งไปกว่านั้น เห็นได้ชัดว่าเป็นแหวนสูงสุด...

เราได้รับการสอนว่าการมีอยู่ของหน่วยไม่รวมอยู่ในคำจำกัดความของวงแหวน ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องมีวงแหวนตามอำเภอใจและหากมีวงแหวนก็สมควรที่จะพูดเกี่ยวกับวงแหวนดังกล่าวว่าเป็น "วงแหวนที่มีอันเดียว"!

ฉันคิดว่าการค้นหาในห้องสมุด ฉันจะพบหนังสือเรียนพีชคณิตที่มั่นคงจำนวนหนึ่งที่ยืนยันมุมมองของฉัน และในแมทธินไซโคลพีเดียเขียนไว้ว่าแหวนไม่จำเป็นต้องมี ดังนั้นทุกอย่างในคำชี้แจงปัญหาของผู้เขียนหัวข้อนั้นถูกต้องแล้ว ไม่จำเป็นต้องตำหนิเขา!

ตามคำนิยาม อุดมคติสูงสุดของแหวนคืออุดมคติสูงสุดโดยคำนึงถึงการรวมเข้าไว้ด้วยกัน ท่ามกลางอุดมคติของตนเอง. สิ่งนี้ไม่ได้เขียนเกี่ยวกับในหลาย ๆ เล่มเท่านั้น แต่ยังรวมถึงในตำราพีชคณิตทุกเล่มที่มีทฤษฎีวงแหวนอยู่ด้วย ดังนั้น ในเรื่องสูงสุด คุณมีการแข่งขันอื่นนอกหัวข้อโดยสิ้นเชิง!

เพิ่มหลังจาก 6 นาที 5 วินาที:

อเล็กซีเขียน:

โดยทั่วไป ตามที่ฉันเข้าใจจากความคิดเห็นของคุณ "วงแหวนที่มีเอกภาพ" เขียนขึ้นเพื่อไม่รวมตัวพิมพ์ที่มีองค์ประกอบเดียวเท่านั้น

เข้าใจผิดเต็มๆ! “วงแหวนที่มีหน่วย” เขียนขึ้นเพื่อระบุว่ามีหน่วยอยู่ในวงแหวน

และมีวงแหวนมากมายที่ไม่มียูนิต ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนเต็มคู่ที่มีการบวกและการคูณธรรมดาจะทำให้เกิดวงแหวนดังกล่าว

เป็นที่นิยมในหมวดหมู่: